If \( G \) is a group and \( N \) is a subgroup of \( G \) generated by commutators ( \( x y x^{-1} y^{-1} \) ), then \( N \) is a normal subgroup and \( G / H \) is abelian iff \( N \le H \). Here \( N \) …
Category Archives: 수학
Akerberg’s Refinement of AM-GM
(From the book The Cauchy-Schwarz Master Class by J. Michael Steele, Exercise 2.10) For nonnegative \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) and \(n \ge 2\) $$ a_n \bigg(\frac{a_1+ a_2+ \ldots + a_{n-1}}{n-1} \bigg)^{n-1} \le \bigg(\frac{a_1+ a_2+ \ldots + a_n}{n} \bigg)^n $$ Proof. Let \(y_i = \frac{a_1+ a_2+ \ldots + a_i}{i}\) for \(i \ge 2 \). Then the …
평균들의 비율과 비율들의 평균에 대하여
배경 예를 들어 두 종류의 양의 수열의 평균적인 비율을 알고 싶을 때, 종종 전체적인 평균의 비율 대신 비율들의 평균을 사용하려는 유혹이 생기기 쉽다. 각 쌍들의 비율도 관심의 대상이니 기왕 이것들을 구했다면 계산된 비율들의 평균을 사용하는 것이 더 간단하기 때문이다. 하지만 후자의 경우 각각의 비율 계산 시 데이터의 규모가 고려되지 못하는 문제가 있다. 위에서 기술한 내용을 …