Commutator Subgroups

If \( G \) is a group and \( N \) is a subgroup of \( G \) generated by commutators ( \( x y x^{-1} y^{-1} \) ), then \( N \) is a normal subgroup and \( G / H \) is abelian iff \( N \le H \). Here \( N \) is called a commutator subgroup.

For a proof, the only non-routine step is to show that \( g x_1 x_2 \ldots x_n g^{-1} \in N \) for an arbitrary \( g \in G \) and commutators \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). Since $$ g x_1 x_2 \ldots x_n g^{-1} = (g x_1 g^{-1}) (g x_2 g^{-1}) \ldots (g x_n g^{-1}), $$ it suffices to show that \( g x y x^{-1} y^{-1} g^{-1} \in N \) for \( x, y, g \in G \).

But $$\begin{aligned}
g x y x^{-1} y^{-1} g^{-1} &= g x ( g^{-1} x^{-1} x g ) y x^{-1} y^{-1} g^{-1} \\
&= (g x g^{-1} x^{-1}) x (g y) x^{-1} (y^{-1} g^{-1}) \\
&= (g x g^{-1} x^{-1}) (x (g y) x^{-1} (g y)^{-1})
\end{aligned}$$ is a product of commutators, so must be in \( N \).

닭 간장구이

  • 재료
    • 닭고기(안심이나 가슴살): 400 g
    • 간장: 2 술
    • 맛술: 1 술
    • 참기름: 1 술
    • 올리고당(또는 비슷한거): 1 술
    • 다진 마늘: 1 술
    • 후추: 약간
    • 물: 3 술
  • 조리
    • 닭고기를 씻어서 적당한 크기로 자른다.
    • 양념 재료를 섞어서 닭고기를 재워둔다.
    • 시간이 지난 후 양념에서 건져서 바싹해질때까지 굽는다. (양념을 일부러 넣고 구우면 너무 짜진다.)

머핀 (라즈베리/블루베리)

재료

  • 밀가루: 150g (박력분인 경우 180g)
  • 베이킹 파우더: 1술
  • 소금: 약간
  • 계란: 2개
  • 식용유: 2술
  • 설탕: 90g
  • 버터밀크: 200ml (또는 우유: 195ml + 식초: 5ml)
  • 라즈베리: 100g (또는 블루베리)
  • 화이트 초콜렛: 적당량

조리

  • 계란, 식용유, 버터밀크, 설탕 혼합
  • 베이킹 파우더, 밀가루, 소금 추가
  • 라즈베리(또는 블루베리) 추가
  • 틀에 담고 200oC (400oF)에서 20분간 가열
  • 구운 뜨거운 빵 위에 화이트 초콜렛을 올리고 녹여서 펼침

오므라이스

재료

  • 밥: 2 공기
  • 계란: 3 개
  • 야채(양파, 당근, 호박 등): 적당히
  • 고기나 햄: 100g 이내
  • 소금: 약간
  • 간장: 2 술
  • 식초: 2/3 술
  • 케찹: 3 술
  • 버터: 10g
  • 식용유: 적당히

조리

  • 팬에 식용유를 두르고 야채와 고기류 볶음(+소금 추가)
  • 팬 한 쪽에 간장+식초+케찹+버터를 졸여서 위의 재료와 섞음
  • 밥 추가
  • 계란물을 팬에 부쳐서 계란 부침 2 장 만들고 밥 위에 덮음
  • 계란옷 위에 케찹 추가

바나나빵

재료

  • 바나나: 4개
  • 밀가루: 220g
  • 베이킹 파우더: 15g
  • 계란: 2개
  • 버터: 60g
  • 우유: 50g
  • 설탕: 60g
  • 소금: 약간
  • 선택 재료: 아몬드, 베리 종류

조리

  • 버터 먼저 녹인 후 재료 혼합
  • 바나나 4 개 중 3.5개는 반죽에 들어가고 0.5 개는 슬라이스해서 반죽 위에 올림
  • 기타 선택 재료 토핑
  • 오븐 조리: 180oC 에서 25분